CUANDO LAS MATEMÁTICAS NOS HABLAN SOBRE EL PLANETA TIERRA

2013 ha sido declarado, bajo el auspicio de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO), como «Año de las Matemáticas del Planeta Tierra»

Esta gran iniciativa, suscrita por numerosos institutos de investigación, departamentos universitarios y sociedades científicas repartidas por todo el mundo tiene un doble objetivo. Por un lado, pretende fomentar la investigación matemática en cuestiones relacionadas con el Planeta Tierra, lo que implica no solo el uso y aplicación de herramientas matemáticas para la identificación y resolución de problemas que pueden ser fundamentales para la Humanidad sino que también conlleva su desarrollo como disciplina en continua evolución. Por otro, se encuentra la vertiente divulgadora de esta iniciativa, cuya finalidad es informar y concienciar a la sociedad sobre la importancia de las Matemáticas a la hora de afrontar estos retos, con el consiguiente acercamiento de esta materia a una sociedad que, mayoritariamente, la considera como una disciplina demasiado abstracta y lejana de la realidad más cercana.

La Tierra, nuestro hogar, es un sistema dinámico en continua evolución. En el transcurso de la Humanidad, los procesos que se producen tanto en la Tierra sólida (corteza, manto, núcleo) como en sus componentes fluidos (océanos, atmósfera) han tenido una gran influencia sobre la vida en la Tierra, y han provocado desastres naturales,cambios en el clima, etc.; que han condicionado el desarrollo y evolución de las distintas especies que la pueblan. Nuestra forma de vida depende de sus recursos y cómo garantizar su aprovechamiento de forma sostenible para el planeta es uno de los desafíos actuales a los que se enfrenta la humanidad. Estas cuestiones, entre otras, alimentan la idea de que la comprensión y estudio del sistema Tierra así como su interacción con la humanidad es de vital importancia para nuestra supervivencia.

Pero, ¿en qué pueden ayudarnos las Matemáticas a la hora de enfrentarnos con estos problemas?

La Ciencia es un proceso de descubrimiento continuo sustentado por la curiosidad innata de cualquier ser humano. Así, la historia de la Humanidad constituye un registro de la creatividad e ingenio de distintas personas que se han dedicado a la resolución de problemas de esta índole. Analizando un poco en profundidad uno de estos problemas, podemos comprobar el importante papel de las Matemáticas en su resolución. Para ello, como matemática a la que le ha picado siempre la curiosidad por temas relacionados con las Ciencias de la Tierra, voy a considerar uno de los problemas en los que se está trabajando actualmente: la vigilancia geodésica de áreas volcánicas activas.

La corteza y litosfera terrestre se generan y destruyen en un proceso continuo asociado a los márgenes activos de las placas tectónicas. La consecuencia más importante de este proceso es «el reciclado geológico de materiales», que hace de la Tierra una gran industria química en la que los volcanes constituyen el indicador físico de este proceso. En este sentido, un volcán se puede definir como el punto de la superficie

terrestre del que aflora material rocoso fundido (magma) y el calor generado en el interior de la Tierra. El

afloramiento y la posterior acumulación del magma dan lugar a distintas manifestaciones montañosas sobre la superficie terrestre.

                      

                     Algunos procesos dinámicos en cuyo estudio intervienen las Matemáticas

Consideramos cómo se estudian los efectos geodésicos que pueden producir el transporte y movimiento de magma desde el interior de la Tierra.

Cuando el magma se mueve desde niveles profundos hacia la corteza terrestre, causa variaciones en la forma del medio, que se pueden detectar con anterioridad a muchas erupciones y, por tanto, podemos definir como precursoras de una erupción. La Geodesia, como ciencia que estudia la forma de la Tierra, proporciona técnicas para la medida de las variaciones que se producen en la superficie terrestre. La observación y medida de estas deformaciones forma parte de la vigilancia geodésica de una zona volcánicamente activa; pero la vigilancia incluye, además de la observación y registro de este fenómeno, su análisis e interpretación.

Actualmente, técnicas geodésicas espaciales, como el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), pueden detectar variaciones temporales de la posición de un punto en el espacio tridimensional con precisiones de varios milímetros. Otras técnicas satelitales, como la Interferometría con Radares de Apertura Sintética (InSAR), proporcionan mapas de gran resolución espacial de la deformación de la superficie terrestre que se produce en la dirección de observación del satélite.

Estas técnicas ya requieren de principios y herramientas matemáticas para obtener la posición espacial de un

punto en el espacio. Por ejemplo, consideremos el sistema GPS. El segmento espacial del GPS consiste en una constelación de 24 satélites situados a una altitud de 20.350 km sobre la superficie terrestre en seis planos orbitales.

Cada satélite orbita dos veces al día alrededor de la Tierra, lo que asegura la cobertura mundial del sistema. Además, los satélites llevan a bordo relojes atómicos muy precisos. El segmento de control del sistema

GPS se encarga de sincronizar estos relojes y de que la posición del satélite sea conocida en cada instante

de tiempo. Los satélites emiten señales de radio que se repiten de forma

periódica y que pueden ser registradas por un observador situado en

la Tierra mediante una antena y un receptor conveniente. El principio geométrico de triangulación permite obtener la posición de dicho

observador.

Consideremos una esfera imaginaria de centro uno de los satélites de la constelación y radio igual a la distancia que separa el satélite del observador. Conocida la velocidad de la señal y el tiempo que ha tardado el receptor en recibir dicha señal, podemos determinar la distancia. El observador podría estar situado en cualquiera de los puntos que determinan la superficie de la esfera. Puesto que con el receptor

somos capaces de detectar incluso la señal de hasta los 8 o 9 satélites que por lo general se encuentran sobre el horizonte del observador y considerando las señales emitidas por, al menos, tres de estos satélites, deberíamos ser capaces de determinar la posición, ya que esta vendría determinada por el punto de intersección de las tres esferas con centro cada uno de los satélites.
Sin embargo, para determinar la posición del observador es necesario que el receptor registre la señal de al menos cuatro satélites. Esto es debido a las imprecisiones que se puedan producir al medir el tiempo de tránsito de cada una de las señales. Mientras que los satélites llevan a bordo relojes muy precisos, la precisión del reloj del receptor es bastante inferior, y existe una deriva entre ambos.

Para resolver este problema, hay que introducir una nueva incógnita en el sistema, además de las tres coordenadas espaciales que determinan la posición del observador, que se corresponde con la deriva de los relojes. Así, tendremos un sistema de 4 ecuaciones, una por cada una de las esferas de centro cada uno de los satélites, con 4 incógnitas para obtener la posición. Generalmente, se consideran todos los satélites visibles por el observador, por lo que tendremos que resolver un sistema con más ecuaciones que incógnitas. Además, el cálculo de la posición se puede complicar un poco, ya que la señal viaja a través de la atmósfera, lo que perturba la velocidad de la señal.

A esto hay que añadir que la elevada velocidad de la señal (velocidad de la luz) hace que debamos considerar efectos relativistas.
Finalmente, para obtener las deformaciones del terreno o variaciones temporales de la posición

que se producen, en nuestro caso, como consecuencia de la migración de magma, bastaría con realizar observaciones en dos instantes de tiempo diferentes.

Mientras que hoy en día la instrumentación y las posibilidades de cálculo computacional permiten detectar deformaciones del terreno con precisiones sin precedentes, estos sistemas de medida no serían útiles sin las técnicas matemáticas adecuadas para analizar e interpretar los datos. En este sentido, los modelos matemáticos junto con los métodos de inversión, permiten caracterizar la fuente de la deformación observada en superficie.

Normalmente, el magma, en su viaje a la superficie, se deposita en niveles someros. Los modelos proporcionan el enlace entre variaciones de presión/volumen que se producen en estos depósitos como consecuencia de la entrada de magma, responsables de las deformaciones del medio y de la deformación observada en superficie.

Para ello, hay que realizar ciertas hipótesis acerca del medio, de la fuente, etc., que junto con la segunda ley de Newton conducen a un problema de contorno, que se resuelve utilizando técnicas numéricas.
El problema inverso permite cuantificar determinados aspectos como las variaciones de presión/volumen, y la forma y profundidad a la que se encuentran los depósitos de magma en el medio a partir de las observaciones en superficie. Y, aunque se pueden utilizar técnicas más complejas para resolver el problema inverso, en este contexto se sigue utilizando, en algunos casos, el método de mínimos cuadrados que Gauss inventó en el siglo XVIII con el fin de invertir datos geodésicos para otro propósito.
La ecuación de Navier-Stokes permite modelar el movimiento de los fluidos en el medio, que es el responsable final de las deformaciones observadas.
Por tanto, modelos de dinámica de fluidos, junto con modelos de deformación del medio, nos ayudan a estudiar la migración de magma, sus efectos y a valorar si esta situación podría o no dar lugar a una erupción volcánica.

Esto no es más que una pequeña muestra de lo que las Matemáticas pueden decir acerca del planeta Tierra. La importancia de todos estos problemas para la Humanidad es fácil de imaginar pero las Matemáticas seguirán hablando...

María Charco Romero

Instituto de Geociencias (CSIC-UCM)